Публикации

Ъгъл чийто връх е вътрешна точка за окръжност. Ъгъл чийто връх е външна точка за окръжност 8 клас

Изображение
Теорема 1 Ъгъл чийто връх е вътрешна точка на една окръжност, се измерва с полусбора от мерките на дъгите, заключени между раменете му, и техните продължения. $\sphericalangle AED=\frac{\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}}{2}$. Теорема 2 Ъгъл, чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с тази окръжност, се измерва с полуразликата от дъгите, заключени между раменете му. На горната фигура виждаме различните възможности, които може да имаме за ъгъл чийто връх е външен за една окръжност, а раменете му имат общи точки с окръжността. Ъглите от фигурата на равни съответно на: $\sphericalangle MLN=\frac{\overset{\frown}{MN}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$, $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MQ}-\overset{\frown}{PQ}}{2}$ и $\sphericalangle MLQ=\frac{\overset{\frown}{MRQ}-\overset{\frown}{MQ}}{2}$. 1 Задача Хордите $AB$ и $AC$ в окръжност $k$ са равни и образуват ъгъл $50^{\circ}$. Допирателната към $k$ в точка $B$ пресича правата $AC$ в точка $M$. Намерете

Булеви функции - основни понятия и дефиниции - част II

Изображение
Сега ще се спрем на комутативност, асоциативност и дистрибутивност при някои от двоичните функции на две променливи: 1) ${\bf x_1.x_2=x_2.x_1}$ т.е. конюнкцията изпълнява комутативния закон Доказателство: Доказателството на този факт е елементарен, тъй като от таблицата за истинност ( виж тук ) можем да видим, че при $x_1=0$ и $x_2=1$ конюнкцията има стойност $0$. Същата тази стойност има и при $x_1=1$ и $x_2=0$ или казано с други думи $0.1=1.0=0$. 2) ${\bf x_1\lor x_2=x_2\lor x_1}$ т.е. дизюнкцията изпълнява комутативния закон. Доказателство:  Доказателството и на това твърдение следва непосредствено от таблицата за истинност. В нея сме записали, че $0\lor 1=1$ и $1\lor 0=1$.  3) ${\bf x_1+x_2=x_2+x_1}$ - изключващото или (сума по модул $2$) удовлетворява комутативния закон. Доказателство: По аналогичен начин на горните две функции. Тук няма да се спираме по отделно на всяка една функция, а целта ни е да покажем начина по който се доказва разглежданото свойство. Читателят може да

Вписан ъгъл и периферен ъгъл 8 клас

Изображение
Определение 1 Ъгъл, чийто връх лежи на дадена окръжност, а раменете му пресичат тази окръжност, се нарича вписан ъгъл. Теорема 1 Вписаният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга. Пример: На този чертеж ъглите $\sphericalangle AFB$, $\sphericalangle APB$ и $\sphericalangle AMB$ са вписани ъгли и според Теорема 1 те са равни на половината от дъгата $\overset{\frown}{AB}$, т.е. $\sphericalangle AFB=\sphericalangle APB=\sphericalangle AMB=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}$. Определение 2 Ъгъл, чийто връх лежи на дадена окръжност, едното му рамо пресича тази окръжност, а другото е допирателна към нея, се нарича периферен ъгъл . Теорема 2 Периферният ъгъл се измерва с половината от принадлежащата му дъга. Пример: На този чертеж ъгъл $\sphericalangle NPQ$ е периферен ъгъл си според Теорема 2 от този урок $\sphericalangle NPQ=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}$. 1 Задача Отсечките $PQ$ и $QM$ са съответно диаметър и хорда в окръжността $K(O)$. Ако $\sphericalangle PQM=30^{\circ}$,

Decomposing a polynomial into factors by applying the formulas for short multiplication

Изображение
 Each of the abbreviated multiplication formulas we have looked at so far is an example of representing a polynomial as a product, for example $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, on the left hand side we have the polynomial $a^2-b^2$ and on the right hand side the product of factors $(a-b)(a+b)$. In the same way, $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$. Clearly we see that again we have a polynomial on the left hand side of the equality and a product on the right hand side. Let's write down the other formulas with the left and right parts swapped $a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3$ and $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).$ We'll see below how we can apply these equalities to specific problems. Problem 1 Decompose the polynomial $4x^2-y^2$ into factors.  Solution:  In our case $a=2x$ and $b=y$, therefore $4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).$ Problem 2 Decompose the polynomial $p^2-(x+y)^2$ into factors.$ Solution: Again apply $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, in this case $a=p$, $b=x+y$, hence $[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x

Централни ъгли, дъги и хорди. Диаметър перпендикулярен на хорда 8 клас

Изображение
 Ако права $t$ пресича окръжността $k$ в точка $A$ и точка $B$, те определят отсечката $AB$, която се нарича хорда за окръжността $k$. Отсечката $MN$ е също хорда за окръжността $k$. Определение 1: Всяка хорда разделя окръжността на две части, които се наричат дъги на окръжността. Ако хордата $AB$ е диаметър на дадена окръжност, то всяка от дъгите $\overset{\frown}{ALB}$ и $\overset{\frown}{AKB}$ се нарича полуокръжност и $\overset{\frown}{ALB}=\overset{\frown}{AKB}$. Определение 2: Ъгъл чийто връх е център на дадена окръжност $k$ се нарича централен ъгъл.  Всеки централен ъгъл е равен на принадлежащата му дъга. Например на даденият чертеж $\sphericalangle KOL$ е  централен ъгъл и $\sphericalangle KOL=\overset{\frown}{KL}=\alpha$. Определение 2 Две окръжности се наричат еднакви ако имат равни радиуси. Определение 3 Две дъги от една и съща окръжност или от еднакви окръжности се наричат равни, когато имат равни мерки (в градуси). Теорема 1   1) Ако $AB=CD$ следва, че $\alpha=\beta$ и $

Окръжност. Взаимно положение на окръжност и точка и окръжност и права. Допирателна към окръжност 8 клас

Изображение
1. Основни понятия Окръжност $k$ с център $O$ и радиус $r$ ще означаваме по следният начин - $k(O;r)$. $O$ - център на окръжността; $AB=2r$; $OA=OB=OC=r$ - радиуси на окръжността; ${KE}$- хорда; $\overset{\frown}{KE}$ - дъга принадлежаща на хордата $KE$. 2. Окръжност и точка 1) Точката $B$ лежи на окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OB=r$; 2) Точката $A$ е вътрешна за окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OA<r$; 3) Точката $C$ е външна за окръжността $k(O;r)$, тогава и само тогава, когато $OC>r$;  4) Ако точките $L$ и $N$ са съответно вътрешна и външна за окръжност $k$, отсечката $LN$ има точно една обща точка $F$ с окръжността $k$. 3. Окръжност и права Преди да разгледаме различните случаи на взаимното положение на окръжност и права нека припомним, че разстояние от точка до права е перпендикулярът спуснат от точката към правата. Ако $k(O;r)$ е окръжност, $l$ е права и $M$ е петата на перпендикуляра, спуснат от центъра $O$ към правата $l$, то са в